평균·분산·표준편차 구하는 법
표준편차는 자료가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 값입니다. 표준편차가 작을수록 자료가 평균 근처에 모여 있습니다.
평균 x̄ = (값의 합) ÷ n
분산 σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
표준편차 σ = √분산
분산 σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
표준편차 σ = √분산
- 편차: 각 값에서 평균을 뺀 것(x − x̄). 편차의 합은 항상 0이라, 흩어짐을 재려면 편차를 제곱해서 평균냅니다 — 그것이 분산입니다.
- 표준편차: 분산에 제곱근을 씌워 원래 단위로 되돌린 값.
- 모집단 vs 표본: 자료 전체(모집단)면 n으로, 일부를 뽑은 표본이면 n−1로 나눕니다. 고등학교 통계는 대부분 모집단(÷n) 기준입니다.
- 중앙값: 크기순으로 정렬했을 때 가운데 값. 짝수 개면 가운데 두 값의 평균.
예시 풀이
예시 — 수행평가 점수 70, 80, 90점.
- 평균 = (70 + 80 + 90) ÷ 3 = 80
- 편차 = −10, 0, +10 → 편차 제곱합 = 100 + 0 + 100 = 200
- 분산 = 200 ÷ 3 = 66.6667 (모집단 기준)
- 표준편차 = √66.6667 = 8.1650
같은 자료를 표본(÷ n−1)으로 보면 분산 = 200 ÷ 2 = 100, 표준편차 = 10이 됩니다. 어느 쪽으로 나누는지에 따라 값이 달라지므로 과제의 기준을 확인하세요.
자주 묻는 질문
표준편차가 크면 무슨 뜻인가요?
자료가 평균에서 멀리 흩어져 있다는 뜻입니다. 예를 들어 두 반의 평균이 똑같이 80점이어도, 표준편차가 큰 반은 점수 차이가 큰 학생들이 섞여 있고 작은 반은 대부분 80점 근처라는 의미입니다.
분산과 표준편차는 뭐가 다른가요?
표준편차는 분산의 제곱근입니다. 분산은 편차를 제곱한 값의 평균이라 단위도 제곱(점²)이 되는데, 제곱근을 씌우면 원래 단위(점)로 돌아와 해석하기 쉬워집니다.
n으로 나눌 때와 n−1로 나눌 때 어느 쪽이 맞나요?
자료가 관심 대상 전체(우리 반 전원의 점수 등)라면 n으로 나누는 모집단 표준편차, 전체 중 일부만 뽑은 표본이라면 n−1로 나누는 표본 표준편차를 씁니다. 고교 교육과정과 수행평가는 대부분 모집단(÷n) 기준입니다.
편차의 합은 왜 항상 0인가요?
평균이 자료의 무게중심이기 때문입니다. 평균보다 큰 값들의 편차(+)와 작은 값들의 편차(−)가 정확히 상쇄됩니다. 그래서 흩어짐을 잴 때는 편차를 제곱해 부호를 없앤 뒤 평균을 냅니다.