순열·조합 공식
순열과 조합의 차이는 순서를 따지느냐입니다. 뽑아서 줄 세우면(순서 있음) 순열, 뽑기만 하면(순서 없음) 조합입니다.
순열 nPr = n! ÷ (n−r)!
조합 nCr = n! ÷ ( r! × (n−r)! )
팩토리얼 n! = n × (n−1) × … × 2 × 1
조합 nCr = n! ÷ ( r! × (n−r)! )
팩토리얼 n! = n × (n−1) × … × 2 × 1
- 팩토리얼(계승): 서로 다른 n개를 한 줄로 나열하는 경우의 수. 0! = 1로 약속합니다.
- 순열: n개 중 r개를 뽑아 순서 있게 나열. 첫 자리 n가지 × 다음 자리 (n−1)가지 × … r개 곱.
- 조합: 순열에서 같은 구성의 중복(r!가지 배열)을 나눠 준 것. nCr = nPr ÷ r!
- 대칭성: nCr = nCn−r — 뽑을 r개를 정하는 것과 남길 (n−r)개를 정하는 것은 같은 일입니다.
예시 풀이
예시 1 — 순열. 학생 5명 중 회장·부회장(순서 있음) 뽑기: ₅P₂ = 5 × 4 = 20가지.
예시 2 — 조합. 학생 5명 중 대표 2명(순서 없음) 뽑기: ₅C₂ = 5×4 ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10가지. 같은 5명·2명이라도 순서를 따지는 순열의 절반이 됩니다.
예시 3 — 큰 수. 카드 52장에서 5장을 뽑는 조합: ₅₂C₅ = 2,598,960가지. 이 계산기는 100 이하의 n에 대해 아무리 큰 결과도 자릿수 손실 없이 정확하게 계산합니다(100!은 158자리).
자주 묻는 질문
순열과 조합, 어느 걸 써야 하나요?
“뽑은 다음 역할·순서가 다르면 다른 경우인가?”를 물어보세요. 다르면(회장/부회장, 1등/2등) 순열, 같으면(그냥 2명 선발) 조합입니다.
0!은 왜 1인가요?
아무것도 나열하지 않는 방법이 “한 가지”(아무것도 안 함) 있다고 약속하기 때문입니다. 이 약속 덕분에 nCn = n!/(n!·0!) = 1처럼 공식이 모든 경우에 자연스럽게 성립합니다.
nPr에서 r이 n보다 크면 왜 안 되나요?
n개밖에 없는데 그보다 많이 뽑을 수 없기 때문입니다. 수식으로도 (n−r)!의 인수가 음수 팩토리얼이 되어 정의되지 않습니다.
중복순열·중복조합도 계산할 수 있나요?
아직 지원하지 않습니다. 중복을 허용하는 중복순열(nΠr = nʳ)과 중복조합(nHr = n+r−1Cr)은 추후 추가를 검토하고 있습니다. 중복조합은 위 조합 계산기에서 n 대신 n+r−1을 넣으면 같은 값을 얻을 수 있습니다.