최대공약수·최소공배수 구하는 방법
최대공약수(GCD)는 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 수 중 가장 큰 수이고, 최소공배수(LCM)는 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수입니다. 24와 36을 소인수분해하면 24 = 23 × 3, 36 = 22 × 32입니다. 공통 소인수의 지수를 작은 쪽으로 고르면 최대공약수 22 × 3 = 12, 큰 쪽으로 고르면 최소공배수 23 × 32 = 72가 나옵니다.
최소공배수 = 모든 소인수의 지수 중 큰 것끼리 곱하기
유클리드 호제법으로 빠르게 구하기
큰 수를 작은 수로 나눈 나머지를 다시 나누는 과정을 나머지가 0이 될 때까지 반복하면, 마지막 나눈 수가 최대공약수입니다. 36과 24라면 36 = 24 × 1 + 12, 24 = 12 × 2 + 0이라 최대공약수가 12입니다. 소인수분해보다 훨씬 빨라서 수가 클 때 유리합니다.
두 수의 곱과 GCD·LCM의 관계
두 수를 곱한 값은 최대공약수와 최소공배수를 곱한 값과 같습니다. 24 × 36 = 864이고 12 × 72 = 864로 일치합니다. 한쪽을 구하면 다른 쪽을 나눗셈으로 얻을 수 있어 검산에 쓰입니다. 이 관계는 수가 두 개일 때만 성립하고 세 개 이상에서는 성립하지 않습니다.
예시 풀이
예시 1 — 24와 36. 24 = 23 × 3, 36 = 22 × 32입니다. 공통 소인수는 2와 3이고, 2의 지수는 3과 2 중 작은 2, 3의 지수는 1과 2 중 작은 1을 골라 최대공약수 12입니다. 최소공배수는 큰 지수를 골라 23 × 32 = 72입니다.
예시 2 — 12와 18. 12 = 22 × 3, 18 = 2 × 32입니다. 최대공약수는 2 × 3 = 6이고 최소공배수는 22 × 32 = 36입니다. 검산하면 12 × 18 = 216이고 6 × 36 = 216으로 맞습니다.
자주 묻는 질문
최대공약수가 1이면 무슨 뜻인가요
두 수가 서로소라는 뜻입니다. 1 말고는 공통으로 나누어떨어지는 수가 없다는 의미이고, 이때 최소공배수는 두 수를 그냥 곱한 값이 됩니다. 7과 13처럼 서로 다른 소수 두 개는 항상 서로소입니다.
세 수 이상의 최대공약수는 어떻게 구하나요
앞의 두 수로 먼저 구하고, 그 결과와 세 번째 수로 다시 구합니다. 12, 18, 24라면 12와 18의 최대공약수 6을 구한 뒤 6과 24의 최대공약수를 구해 6이 됩니다. 최소공배수도 같은 순서로 묶어 계산합니다.
분수 약분에 최대공약수를 어떻게 쓰나요
분자와 분모의 최대공약수로 두 수를 동시에 나누면 한 번에 기약분수가 됩니다. 18/24라면 최대공약수가 6이므로 3/4이 됩니다. 작은 수로 여러 번 나누는 것보다 빠르고, 나눌 것이 남았는지 헷갈리지 않습니다.
최소공배수는 어디에 쓰나요
분모가 다른 분수를 더하거나 뺄 때 통분할 분모를 정하는 데 씁니다. 1/2 + 1/3이면 2와 3의 최소공배수 6으로 통분해 3/6 + 2/6을 계산합니다. 두 버스가 각각 12분, 18분 간격으로 올 때 동시에 오는 주기를 구하는 문제도 최소공배수입니다.
한 수가 다른 수의 배수면 어떻게 되나요
작은 수가 최대공약수이고 큰 수가 최소공배수입니다. 6과 24라면 6이 24를 나누어떨어지게 하므로 최대공약수가 6, 최소공배수가 24입니다. 계산할 것 없이 바로 답이 나오는 경우입니다.