소인수분해 하는 방법
소인수분해는 자연수를 소수들의 곱으로만 나타내는 것입니다. 60을 작은 소수부터 차례로 나누면 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1이 되어 60 = 22 × 3 × 5로 정리됩니다. 어떤 수를 소인수분해한 결과는 순서를 빼면 단 하나뿐입니다.
몫이 1이 될 때까지 반복한다
거꾸로 나눗셈으로 적는 순서
왼쪽에 나누는 소수, 아래에 몫을 적어 내려가는 방식입니다. 2로 나누어떨어지면 될 때까지 2로 나누고, 안 되면 3, 5, 7 순서로 넘어갑니다. 나누는 소수를 왼쪽에 모아 두면 마지막에 그것들을 곱한 것이 소인수분해 결과가 됩니다.
약수의 개수는 지수에 1을 더해 곱합니다
60 = 22 × 31 × 51이면 약수의 개수는 (2+1) × (1+1) × (1+1) = 12개입니다. 각 소인수를 0개부터 지수 개수까지 고르는 경우의 수이기 때문입니다. 약수를 일일이 세지 않고도 개수를 알 수 있어 시험에 자주 나옵니다.
어디까지 나눠 봐야 하는가
나누는 수를 제곱했을 때 원래 수보다 커지면 멈춰도 됩니다. 97이 소수인지 보려면 92 = 81, 102 = 100이므로 9까지만 확인하면 충분합니다. 2, 3, 5, 7로 나누어떨어지지 않으니 97은 소수입니다.
예시 풀이
예시 1 — 60. 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1입니다. 나눈 소수를 모으면 2, 2, 3, 5이므로 60 = 22 × 3 × 5입니다. 약수의 개수는 (2+1)(1+1)(1+1) = 12개이고 실제로 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60의 12개입니다.
예시 2 — 100. 100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5, 5 ÷ 5 = 1이라 100 = 22 × 52입니다. 약수의 개수는 (2+1)(2+1) = 9개입니다.
자주 묻는 질문
1은 왜 소인수분해를 못 하나요
1은 소수도 합성수도 아니기 때문입니다. 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수로 정의되므로 1은 여기에 들어가지 않습니다. 그래서 이 계산기는 2 이상만 받습니다.
소인수가 하나면 소수인가요
아닙니다. 1024는 210이라 서로 다른 소인수가 2 하나뿐이지만 소수가 아닙니다. 소수는 소인수분해했을 때 소수 하나가 딱 한 번 나오는 경우이고, 1024는 2가 열 번 곱해진 합성수입니다.
큰 수도 소인수분해할 수 있나요
이 계산기는 1조까지 계산합니다. 작은 소수부터 차례로 나눠 보는 방식이라 큰 소수가 들어 있으면 시간이 조금 더 걸립니다. 999999999989 같은 열두 자리 소수도 몇십 밀리초 안에 처리됩니다.
소인수분해로 최대공약수를 어떻게 구하나요
두 수를 각각 소인수분해한 뒤 공통 소인수의 지수 중 작은 것을 골라 곱합니다. 24 = 23 × 3과 36 = 22 × 32이면 22 × 3 = 12입니다. 최소공배수는 반대로 큰 지수를 고릅니다.
제곱수인지 어떻게 알 수 있나요
소인수분해했을 때 모든 지수가 짝수면 제곱수입니다. 100 = 22 × 52는 지수가 둘 다 2라 제곱수이고 실제로 10의 제곱입니다. 60 = 22 × 3 × 5는 3과 5의 지수가 1이라 제곱수가 아닙니다.