60초 핵심 요약 — 계수 a, b, c를 넣으면 판별식과 근이 나옵니다. 판별식 D = b² − 4ac 의 부호가 근의 개수를 결정합니다. D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근, D < 0이면 실근이 없고 두 허근입니다. a가 0이면 이차방정식이 아니므로 계산되지 않습니다.
1. 이차방정식의 형태
ax² + bx + c = 0 (단, a ≠ 0)
a, b, c를 계수라 하고, 이 셋만 정해지면 근이 결정됩니다. 이차방정식 근 계산기는 계수 세 개를 입력받습니다.
a가 0이면 x² 항이 사라져 일차방정식이 되므로, 계산기는 a = 0을 오류로 처리합니다.
2. 근의 공식
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
이 공식의 제곱근 안에 있는 b² − 4ac가 판별식입니다. 기호로 D 또는 Δ를 씁니다.
3. 판별식이 근의 개수를 결정한다
| 판별식 D | 근의 상태 | 그래프와 x축 |
|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | 두 점에서 만남 |
| D = 0 | 중근 (한 개) | 한 점에서 접함 |
| D < 0 | 서로 다른 두 허근 | 만나지 않음 |
이유는 간단합니다. 제곱근 안이 양수면 √D가 실수라 ± 로 두 값이 갈리고, 0이면 ±가 의미 없어 하나로 합쳐지며, 음수면 실수 범위에서 제곱근이 정의되지 않습니다.
판별식과 근의 관계는 교육부 고등학교 수학과 교육과정의 내용입니다.
4. 계산 예시 세 가지
D > 0 — x² − 5x + 6 = 0 D = 25 − 24 = 1 > 0 → x = (5 ± 1) ÷ 2 → x = 3 또는 2
D = 0 — x² − 4x + 4 = 0 D = 16 − 16 = 0 → x = 4 ÷ 2 → x = 2 (중근)
D < 0 — x² + x + 1 = 0 D = 1 − 4 = −3 < 0 → 실근 없음, 두 허근
5. 계산기의 풀이 과정 토글
결과만 보면 왜 그 값이 나왔는지 알 수 없습니다. 계산기에는 풀이 과정 보기 토글이 있어 다음을 단계별로 보여 줍니다.
1. 판별식 계산 2. 판별식 부호에 따른 근의 상태 판정 3. 근의 공식 대입 과정 4. 최종 근
과제에서 풀이 과정을 써야 할 때 참고할 수 있습니다. 시험 답안은 결과만 적으면 부분 점수를 놓치는 경우가 많으므로, 판별식을 먼저 구하고 그 부호를 근거로 근의 상태를 밝힌 뒤 공식에 대입하는 순서를 그대로 옮겨 적는 것이 안전합니다.
6. 근과 계수의 관계로 검산하기
계산 결과가 맞는지 빠르게 확인하는 방법입니다. 두 근을 α, β라 하면
- 두 근의 합: α + β = −b ÷ a
- 두 근의 곱: α × β = c ÷ a
x² − 5x + 6 = 0의 근 3과 2를 검산하면 합은 5이고 −b/a = 5, 곱은 6이고 c/a = 6으로 일치합니다.
7. 인수분해가 되면 더 빠르다
계수가 간단한 정수면 인수분해가 근의 공식보다 빠릅니다.
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 이므로 x = 2 또는 3입니다.
곱해서 c, 더해서 b가 되는 두 수를 찾는 방식입니다. 이 두 수가 정수로 떨어지지 않을 때 근의 공식을 씁니다.
인수분해 가능 여부는 판별식으로 미리 알 수 있습니다. D가 완전제곱수이면 근이 유리수로 떨어져 인수분해가 됩니다. x² − 5x + 6의 D는 1로 완전제곱수라 인수분해가 되고, x² − 3x + 1의 D는 5라 근이 무리수가 되어 근의 공식을 써야 합니다.
8. 허근이 나왔을 때
D < 0이면 실수 범위에는 근이 없습니다. 계산기는 이 경우 복소수 형태로 두 허근을 표시합니다.
허근은 항상 짝을 이뤄 나타납니다. 계수가 실수인 이차방정식에서 한 근이 p + qi면 다른 근은 반드시 p − qi입니다. 근의 공식에서 √D 앞의 부호만 ±로 갈리기 때문입니다. 이를 켤레복소수라 합니다.
고등학교 교육과정에서는 복소수 범위까지 다루므로, 허근도 답으로 인정되는 경우가 많습니다. 다만 문제가 “실근”을 물었다면 “실근은 없다”가 답입니다. 문제가 어느 범위를 묻는지 확인해야 합니다.
FAQ
Q. a에 0을 넣으면 왜 오류가 나나요?
A. a = 0이면 x² 항이 사라져 이차방정식이 아니라 일차방정식(bx + c = 0)이 됩니다. 근의 공식도 분모가 0이 되어 성립하지 않습니다.
Q. 판별식만 알면 근을 안 구해도 되나요?
A. 근의 개수와 종류만 물었다면 판별식 부호만으로 답할 수 있습니다. 근의 값 자체가 필요하면 근의 공식까지 계산해야 합니다.
Q. 중근은 근이 하나인가요 두 개인가요?
A. 값은 하나지만 중복된 두 근으로 봅니다. “중근을 갖는다” 또는 “서로 같은 두 근”이라 표현합니다.
Q. 소수 계수도 넣을 수 있나요?
A. 됩니다. 다만 결과가 무리수로 나오면 소수로 근사 표시되므로, 정확한 값이 필요하면 근호 형태로 직접 정리해야 합니다.
관련 링크
- 허브: 학업 — 계산기 종합
- 도구: 이차방정식 근 계산기
- 매거진: 판별식으로 근의 개수 판단하기
안내 · 출처 · 기준일
안내 — 본 계산 결과는 참고용입니다. 과제·시험에서는 문제가 요구하는 수의 범위(실수/복소수)와 답안 형식을 확인하시기 바랍니다.
출처 – 교육부(moe.go.kr) — 고등학교 수학과 교육과정 – 한국교육과정평가원(kice.re.kr) — 교육과정 성취기준
기준일: 2026-07-30