팩토리얼을 배우면 5! = 120처럼 계산은 금방 익숙해집니다. 그런데 0! = 1이라는 규칙에서 많은 학생이 멈칫합니다. “아무것도 없는데 왜 1이지?” 0의 팩토리얼이 1인 이유를 여러 각도에서 정리했습니다.
팩토리얼의 뜻
n!(n 팩토리얼)은 1부터 n까지의 자연수를 모두 곱한 값입니다. 예를 들어 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120입니다. 팩토리얼은 서로 다른 n개를 일렬로 배열하는 경우의 수를 뜻하기도 합니다. 3명을 한 줄로 세우는 방법이 3! = 6가지인 것처럼요. 이 ‘배열의 수’라는 의미가 0! = 1을 이해하는 열쇠입니다.
이유 1 — 배열의 관점
0!은 “아무것도 없는 것을 배열하는 경우의 수”입니다. 그런데 아무것도 배열하지 않는 방법은 ‘아무것도 하지 않는다’는 단 한 가지가 존재합니다. 0가지가 아니라 1가지인 것이 핵심입니다. 빈 자리를 그대로 두는 방식이 유일하게 하나 있으므로 0! = 1이 됩니다. 경우의 수에서 “방법이 없다(0가지)”와 “방법이 딱 하나 있다(1가지)”는 다르다는 점을 구분하면 이해가 쉽습니다.
이유 2 — 규칙의 관점
팩토리얼에는 n! = n × (n−1)!이라는 규칙이 있습니다. 이 식에 n = 1을 넣으면 1! = 1 × 0!이 됩니다. 그런데 1! = 1이므로, 1 = 1 × 0!, 따라서 0! = 1이어야 규칙이 깨지지 않습니다. 즉 0! = 1은 억지로 정한 것이 아니라, 팩토리얼의 기본 규칙을 0까지 자연스럽게 이어가면 반드시 그렇게 될 수밖에 없는 값입니다.
이유 3 — 조합 공식의 관점
조합 공식 nCr = n! / (r! × (n−r)!)에서도 0! = 1이 필요합니다. 예를 들어 nCn(전부 다 뽑기)은 1가지여야 하는데, 공식에 넣으면 n! / (n! × 0!)이 됩니다. 이 값이 1이 되려면 0! = 1이어야 합니다. 마찬가지로 nC0(하나도 안 뽑기)도 1가지인데, 이 역시 0! = 1일 때만 성립합니다. 조합 계산이 앞뒤가 맞으려면 0! = 1이 필수인 것입니다. 팩토리얼과 조합 값은 순열·조합 계산기에서 직접 확인할 수 있습니다.
정리 — 0! = 1은 약속이자 필연
0! = 1은 “빈 배열은 한 가지”라는 의미로도, “팩토리얼 규칙의 자연스러운 연장”으로도, “조합 공식이 성립하기 위한 조건”으로도 설명됩니다. 세 관점 모두 같은 결론에 도달합니다. 그래서 0! = 1은 예외적인 암기 사항이 아니라, 수학이 일관성을 지키기 위해 반드시 그래야 하는 값입니다. 관련 용어는 계산 용어사전에서 함께 볼 수 있습니다.
팩토리얼은 얼마나 빨리 커질까
팩토리얼의 또 다른 특징은 값이 폭발적으로 빠르게 커진다는 것입니다. 5!은 120이지만 10!은 벌써 360만이 넘고, 20!은 200경을 웃돕니다. 곱하는 수가 하나씩 늘 때마다 전체가 그 수만큼 배로 커지기 때문입니다. 이런 급격한 증가 때문에 경우의 수 문제에서 팩토리얼이 들어가면 값이 순식간에 커집니다. 예를 들어 사람 몇 명만 일렬로 세워도 배열 방법이 수백, 수천 가지가 되는 이유가 여기 있습니다. 그래서 큰 수의 팩토리얼이나 순열·조합은 손으로 계산하기 어렵고, 계산기의 도움이 필요합니다. 다만 값이 너무 커지면 자릿수가 많아 오차가 생길 수 있으므로, 계산기가 어떤 방식으로 큰 수를 처리하는지도 알아두면 좋습니다. 팩토리얼의 빠른 증가를 체감하려면 n을 하나씩 늘려 가며 결과가 얼마나 커지는지 직접 확인해 보는 것이 도움이 됩니다.
관련 계산기·가이드
- 순열·조합 계산기 — 팩토리얼·nPr·nCr 계산
- 계산 용어사전 — 팩토리얼
출처
- 한국교육과정평가원(kice.re.kr) — 고등학교 확률과 통계 성취기준
- 교육부(moe.go.kr) — 2022 개정 수학과 교육과정