이차방정식 문제에서 “근을 구하시오”만큼 자주 나오는 것이 “근의 개수를 구하시오”입니다. 그런데 근을 직접 구하지 않고도 근이 몇 개인지 알 수 있는 방법이 있습니다. 바로 판별식입니다. 판별식이 무엇이고 어떻게 쓰는지 정리했습니다.
판별식이란
이차방정식 ax² + bx + c = 0에서 판별식 D는 D = b² − 4ac로 정의됩니다. 이 값은 근의 공식 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a의 √ 안에 들어가는 부분입니다. √ 안의 값이 양수냐, 0이냐, 음수냐에 따라 근의 성질이 완전히 달라지기 때문에, 이 부분만 따로 떼어 근의 개수를 ‘판별’하는 데 씁니다. 그래서 이름도 판별식입니다.
D의 부호로 근의 개수가 갈린다
판별식의 부호에 따라 실근의 개수는 세 가지로 나뉩니다. D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 중근(서로 같은 두 실근, 실질적으로 한 개), D < 0이면 실근이 없음(켤레 허근)입니다. √ 안이 양수면 두 갈래로 나뉘고, 0이면 ±가 사라져 하나로 겹치며, 음수면 실수 범위에서 √를 구할 수 없어 실근이 없다는 원리입니다.
예시로 확인하기
x² − 5x + 6 = 0을 봅시다. a=1, b=−5, c=6이므로 D = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1입니다. D가 0보다 크므로 서로 다른 두 실근을 가집니다. 실제로 인수분해하면 (x−2)(x−3)=0이라 x₁ = 3, x₂ = 2로 두 근이 나옵니다. 판별식만으로 “근이 두 개”임을 근을 구하기 전에 알 수 있었던 것입니다. 계수를 넣으면 판별식과 근을 함께 보여 주는 이차방정식 근 계산기로 확인할 수 있습니다.
판별식이 쓰이는 다른 상황
판별식은 근의 개수뿐 아니라 다른 문제에도 활용됩니다. “이차방정식이 실근을 가질 조건”을 물으면 D ≥ 0을 세우면 되고, “중근을 가질 조건”이면 D = 0을 풉니다. 또 이차함수 그래프가 x축과 몇 번 만나는지도 판별식으로 알 수 있습니다. D > 0이면 두 점에서 만나고, D = 0이면 접하며, D < 0이면 만나지 않습니다. 근의 개수와 그래프의 교점 수가 같은 원리로 연결되는 것입니다.
정리 — 근을 구하기 전에 개수부터
판별식은 “근을 구하지 않고 근의 성질을 먼저 파악하는 도구”입니다. 복잡한 방정식일수록 판별식으로 근의 개수와 성질을 먼저 확인하면 풀이 방향을 정하기 쉽습니다. b² − 4ac라는 식과 세 가지 경우만 기억하면, 이차방정식 관련 문제의 절반은 접근할 수 있습니다. 근의 공식이 어떻게 나왔는지 궁금하다면 계산 용어사전의 관련 항목도 함께 참고할 수 있습니다.
판별식과 근과 계수의 관계
판별식을 배우면 함께 등장하는 것이 근과 계수의 관계입니다. 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라 하면, 두 근의 합은 −b/a, 두 근의 곱은 c/a가 됩니다. 이 관계를 알면 근을 직접 구하지 않고도 두 근의 합·곱을 바로 알 수 있어 계산이 빨라집니다. 판별식이 ‘근의 개수와 성질’을 알려준다면, 근과 계수의 관계는 ‘근의 합과 곱’을 알려주는 도구인 셈입니다. 두 가지를 함께 쓰면 근을 구하지 않고도 이차방정식의 많은 정보를 파악할 수 있습니다. 예컨대 “두 근이 모두 양수일 조건” 같은 문제는 판별식(실근 조건)과 근과 계수의 관계(합·곱의 부호)를 결합해 풉니다. 이렇게 판별식은 단독으로도 쓰이지만, 다른 개념과 연결될 때 더 강력해집니다. 개념 사이의 연결을 이해하면 응용 문제에서 접근 방향을 잡기 쉬워집니다.
관련 계산기·가이드
- 이차방정식 근 계산기 — 판별식·근·풀이 과정 표시
- 계산 용어사전 — 판별식
출처
- 한국교육과정평가원(kice.re.kr) — 고등학교 수학 성취기준(이차방정식)
- 교육부(moe.go.kr) — 2022 개정 수학과 교육과정