이차방정식을 풀 때 쓰는 근의 공식 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a는 외워서 쓰지만, 이 복잡한 식이 어디서 나왔는지 아는 학생은 많지 않습니다. 사실 근의 공식은 ‘완전제곱식 만들기’라는 한 가지 방법에서 유도됩니다. 그 과정을 단계별로 따라가 봤습니다.
출발점 — 일반형 이차방정식
모든 이차방정식은 ax² + bx + c = 0(단, a ≠ 0) 꼴로 쓸 수 있습니다. 목표는 이 식을 x = ○ 꼴로 바꾸는 것입니다. 그런데 x가 제곱과 일차항에 동시에 들어 있어 바로 정리할 수 없습니다. 그래서 x를 하나의 제곱 덩어리로 묶는 완전제곱식 만들기를 사용합니다. 이 아이디어 하나가 근의 공식 유도의 전부입니다.
단계별 유도
먼저 양변을 a로 나눕니다. x² + (b/a)x + (c/a) = 0. 다음으로 상수항을 오른쪽으로 옮깁니다. x² + (b/a)x = −c/a. 이제 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 일차항 계수의 절반을 제곱한 값 (b/2a)²을 양변에 더합니다. 그러면 좌변이 (x + b/2a)² 꼴로 묶이고, 우변은 통분하면 (b² − 4ac) / 4a²이 됩니다. 양변에 √를 씌우면 x + b/2a = ±√(b²−4ac) / 2a, 마지막으로 b/2a를 이항하면 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a가 완성됩니다.
왜 ±가 생길까
√를 씌우는 단계에서 ±가 등장합니다. 어떤 수를 제곱해 양수가 되는 경우는 양수와 음수 두 가지이기 때문입니다. 예를 들어 제곱해서 9가 되는 수는 3과 −3 둘입니다. 이 ± 때문에 이차방정식은 일반적으로 근이 두 개가 됩니다. 그리고 √ 안의 b² − 4ac가 바로 판별식이며, 이 값이 0이면 ±가 사라져 근이 하나(중근)로 겹칩니다.
공식으로 직접 확인하기
유도한 공식이 맞는지 간단한 예로 확인해 봅시다. x² + 2x + 1 = 0은 a=1, b=2, c=1이므로 판별식 D = 4 − 4 = 0입니다. 공식에 넣으면 x = (−2 ± √0) / 2 = −1, 즉 x = -1 (중근)이 나옵니다. 실제로 (x+1)² = 0이므로 x = −1이 맞습니다. 여러 계수로 공식이 어떻게 작동하는지 이차방정식 근 계산기에서 풀이 과정과 함께 볼 수 있습니다.
유도를 알면 응용이 쉽다
근의 공식을 단순히 외우면 잊어버리기 쉽지만, “완전제곱식으로 묶는다”는 원리를 이해하면 공식을 잊어도 다시 만들어 낼 수 있습니다. 또 이 완전제곱 과정은 이차함수의 꼭짓점을 구하거나 그래프를 그릴 때도 똑같이 쓰입니다. 그래서 근의 공식 유도는 이차식 전체를 관통하는 기본기입니다. 관련 용어는 계산 용어사전에서 함께 확인할 수 있습니다.
완전제곱식은 어디에 또 쓰일까
근의 공식 유도의 핵심인 완전제곱식 만들기는 이차식을 다루는 여러 곳에서 반복됩니다. 대표적으로 이차함수 y = ax² + bx + c를 y = a(x − p)² + q 꼴로 바꾸는 표준형 변환이 바로 완전제곱식입니다. 이렇게 바꾸면 꼭짓점의 좌표 (p, q)가 한눈에 보여 그래프를 그리기 쉬워집니다. 또 이차부등식을 풀 때도 완전제곱식으로 정리하면 부호 판단이 명확해집니다. 즉 근의 공식, 이차함수 그래프, 이차부등식이 모두 완전제곱이라는 하나의 도구로 연결됩니다. 그래서 근의 공식을 유도해 보는 경험은 단순히 공식 하나를 이해하는 데 그치지 않고, 이차식 단원 전체를 관통하는 기본기를 다지는 일입니다. 공식을 외우기 전에 한 번쯤 직접 유도해 보면, 나중에 관련 개념을 배울 때 훨씬 수월하게 이어집니다.
관련 계산기·가이드
- 이차방정식 근 계산기 — 판별식·근·풀이 과정 표시
- 계산 용어사전 — 판별식·완전제곱식
출처
- 한국교육과정평가원(kice.re.kr) — 고등학교 수학 성취기준(이차방정식)
- 교육부(moe.go.kr) — 2022 개정 수학과 교육과정